對于波紋進位加法器(亦稱脈動進位加法器,ripple-carry adder)來說,如果增加運算位數,一方面需要更多的邏輯門,另一方面由于高位的計算必須等待低位的進位輸出信號被計算出來才能開始,在進行大規模數據計算時會顯著增加運算時間。
所以,當今的計算機使用的是另一種有些不同的加法運算器:超前進位加法器('carry-look-ahead' adder)。
總結:超前進位加法器的原理是數學公式推導所得到的結果。通過將輸出在高位的進位利用輸入的低位去表示,實現效率的提升。
下面來看超前進位加法器的具體原理。
Ai、Bi為兩個輸入在第i位的值,Ci(carry)代表該位向下一位的進位,Si(sum)代表該位的和。
在布爾代數中,點乘是“與”,加法是“或”,右上小撇代表“非”,⊕代表異或運算。
兩數相乘(“與”)如果有一個是0,則結果一定為0,亦知只有兩個乘數都是1時才能得1。
兩數相加(“或”),只要有一個不是0,則得數為1。注意1+1=1。
在異或運算中,1⊕1=0,0⊕0=0,1⊕0=1。
為什么 Si=Ai⊕Bi⊕Ci? ?為什么用“異或”運算去表示S?
由二進制算術(非邏輯)可知,1+1=10,1+0=1,0+0=0。
可以發現,二進制算術加法所得結果在個位上的數字與邏輯運算中“異或”的結果是相同的。
M⊕N為什么等于(MN)⊕M+N?
若M⊕N為true,則M、N不相同。
則此時(MN),即M和N求邏輯“與”運算應當為false;(M+N)應當為true。則(MN)⊕M+N為true,與M⊕N結果相同。
由于高位的進位輸出表達式(積之和式)涉及的變量更多,對應的邏輯電路連線會變得更復雜,而且在實際應用中會遭遇邏輯門的扇入問題。
所以出于對成本的考慮,有必要對位數過高的全加器進行邏輯劃分,如將六十四位全加器分為四個十六位超前進位加法器來實現,以此來實現成本和性能的平衡。
參考:
bilibili:動畫:如何深入理解超前進位加法器 [manim制作]
CSDN:超前進位加法器的理解
百度百科:超前進位加法器
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