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概述

蒙特卡羅方法是一種計算方法。原理是通過大量隨機樣本，去了解一個系統，進而得到所要計算的值。

它非常強大和靈活，又相當簡單易懂，很容易實現。對于許多問題來說，它往往是最簡單的計算方法，有時甚至是唯一可行的方法。它誕生于上個世紀40年代美國的”曼哈頓計劃”，名字來源于賭城蒙特卡羅，象征概率。

π的計算

第一個例子是，如何用蒙特卡羅方法計算圓周率π。正方形內部有一個相切的圓，它們的面積之比是π/4。

現在，在這個正方形內部，隨機產生10000個點（即10000個坐標對 (x, y)），計算它們與中心點的距離，從而判斷是否落在圓的內部。

如果這些點均勻分布，那么圓內的點應該占到所有點的 π/4，因此將這個比值乘以4，就是π的值。通過R語言腳本隨機模擬30000個點，π的估算值與真實值相差0.07%。

無意識統計學家法則（Law of the unconscious statistician）

這是本文后續會用到的一個定理。作為一個預備知識，我們首先來介紹一下它。先來看一下維基百科上給出的解釋。
In probability theory and statistics, the law of the unconscious statistician (sometimes abbreviated LOTUS) is a theorem used to calculate the 期望值 of a functiong(X)of a 隨機變量Xwhen one knows the probability distribution ofXbut one does not explicitly know the distribution ofg(X). The form of the law can depend on the form in which one states the probability distribution of the 隨機變量X.

• If it is a discrete distribution and one knows its PMF functionfX(but notfg(X)), then the 期望值 ofg(X)is E[g(X)]=∑xg(x)fX(x)

  where the sum is over all possible valuesxofX.

• If it is a continuous distribution and one knows its PDF functionfX(but notfg(X)), then the 期望值 ofg(X)is E[g(X)]=∫∞-∞g(x)fX(x)dx

LOTUS到底表達了一件什么事呢？它的意思是：已知隨機變量X的概率分布，但不知道g(X)的分布，此時用LOTUS公式能計算出函數g(X)的數學期望。LOTUS的公式如下：

• X是離散分布時 E[g(X)]=∑xg(x)fX(x)
• X是連續分布時 E[g(X)]=∫∞-∞g(x)fX(x)dx

其實就是在計算期望時，用已知的X的PDF（或PMF）代替未知的g(X)的PDF（或PMF）。

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蒙特卡洛求定積分（一）：投點法

這個方法也常常被用來求π值?，F在我們用它來求函數的定積分。如下圖所示，有一個函數f(x)，若要求它從a到b的定積分，其實就是求曲線下方的面積。這時我們可以用一個比較容易算得面積的矩型罩在函數的積分區間上（假設其面積為Area）。然后隨機地向這個矩形框里面投點，其中落在函數f(x)下方的點為綠色，其它點為紅色。然后統計綠色點的數量占所有點（紅色+綠色）數量的比例為r，那么就可以據此估算出函數f(x)從a到b的定積分為Area×r。

注意由蒙特卡洛法得出的值并不是一個精確之，而是一個近似值。而且當投點的數量越來越大時，這個近似值也越接近真實值。

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蒙特卡洛求定積分（二）：期望法

下面我們來重點介紹一下利用蒙特卡洛法求定積分的第二種方法——期望法，有時也成為平均值法。

任取一組相互獨立、同分布的隨機變量{Xi}，Xi在[a,b]上服從分布律fX，也就是說fX是隨機變量X的PDF（或PMF），令g*(x)=g(x)fX(x)，則g*(Xi)也是一組獨立同分布的隨機變量，而且（因為g*(x)是關于x的函數，所以根據LOTUS可得）

E[g*(Xi)]=∫bag*(x)fX(x)dx=∫bag(x)dx=I

由強大數定理

Pr(limN→∞1N∑i=1Ng*(Xi)=I)=1

若選

I=1N∑i=1Ng*(Xi)

則I依概率1收斂到I。平均值法就用I作為I的近似值。

假設要計算的積分有如下形式

I=∫bag(x)dx

其中被積函數g(x)在區間[a,b]內可積。任意選擇一個有簡便辦法可以進行抽樣的概率密度函數fX(x)，使其滿足下列條件：

1. 當g(x)≠0時，fX(x)≠0（a≤x≤b）
2. ∫bafX(x)dx=1

如果記

g*(x)=g(x)fX(x),0,fX(x)≠0fX(x)=0

那么原積分式可以寫成

I=∫bag*(x)fX(x)dx

因而求積分的步驟是：

1. 產生服從分布律fX的隨機變量Xi(i=1,2,···,N)；
2. 計算均值 I=1N∑i=1Ng*(Xi)

   并用它作為I的近似值，即I≈I。

如果a,b為有限值，那么fX可取作為均勻分布：

fX(x)=1b-a,0,a≤x≤botherwise

此時原來的積分式變為

I=(b-a)∫bag(x)1b-adx

具體步驟如下：

1. 產生[a,b]上的均勻分布隨機變量Xi(i=1,2,···,N);
2. 計算均值 I=b-aN∑i=1Ng(Xi)

   并用它作為I的近似值，即I≈I。

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平均值法的直觀解釋

下面是來自參考文獻【1】的一個例子。注意積分的幾何意義就是[a,b]區間內曲線下方的面積。

當我們在[a,b]之間隨機取一點x時，它對應的函數值就是f(x)，然后變可以用f(x)×(b-a)來粗略估計曲線下方的面積（也就是積分），當然這種估計（或近似）是非常粗略的。

于是我們想到在[a,b]之間隨機取一系列點xi時（xi滿足均勻分布），然后把估算出來的面積取平均來作為積分估計的一個更好的近似值?？梢韵胂?，如果這樣的采樣點越來越多，那么對于這個積分的估計也就越來越接近。

按照上面這個思路，我們得到積分公式為

I=(b-a)1N∑i=0N-1f(Xi)=1N∑i=0N-1f(Xi)1b-a

注意其中的1b-a就是均勻分布的PMF。這跟我們之前推導出來的蒙特卡洛積分公式是一致的。

參考文獻

【1】http://www.scratchapixel.com/lessons/mathematics-physics-for-computer-graphics/monte-carlo-methods-in-practice/monte-carlo-integration

>>>關于作者

CSDN 博客專家，2019-CSDN百大博主，計算機（機器學習方向）博士在讀，業余Kaggle選手，有過美團、騰訊算法工程師經歷，目前就職于Amazon AI lab。喜愛分享和知識整合。

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