領悟《信號與系統》之 信號與系統的描述-下節

信號與系統的描述-下節

• 一、信號的基本運算
• • 1. 信號的基本運算
  • • 1. 加法 、減法
    • 2. 乘法、除法
    • 3. 微分 、差分
    • 4.積分、迭分
  • 2. 關于時間（自變量）的運算
  • • 1. 位移
    • 2. 反折
    • 3. 尺度變換
• 二、階躍信號與沖激信號
• • 1. 單位階躍信號
  • 2. 單位階躍信號的特性
  • 3. 單位沖激信號
  • 4. 單位沖激信號的性質
• 三、系統的特性及分類
• • 1. 系統的初始狀態
  • 2. 線性特性
  • 3. 時不變特性
  • 4. 因果特性
  • 5. 穩定性

在真實的物理世界中，力、熱、聲、光、電等信號都可能攜帶了某種信息。我們需要使用數學抽象的方法來建立一套數學模型來作為我們對信號、系統進行描述，這其實就是一個數學建模的過程。 人們把隨時間變化或隨空間變化的物理信號根據其特性用數學方式來描述，最基本的方法就是寫出它的時域解析表示式（函數）或繪出函數的波形。
在信號與系統中，我們對于信號、系統的描述通常使用時間函數，也就是時域來描述、也可以運用時域方法來解決問題。但是我們在實際使用是發現時域的描述簡單、但計算是非常復雜的，后面就需要采用頻域、復頻域、z域等變換方式來快速、簡便的解決問題。那就需要引入頻譜分析、各種正交變換以及其他方式來描述和研究信號。

• 這節信號、系統的描述都是建立在時域的基礎上來敘述的。

本節的思路：

• 因為內容過多，分為兩節，這里為下節 包含 信號基本運算、階躍信號和沖激信號、系統特性及分類
  參考上節內容：
• 信號與系統的描述-上節

一、信號的基本運算

這里涉及到對信號的基本處理，很簡單的，里面根據信號的不同，主要是離散和隨機信號。

1. 信號的基本運算

1. 加法 、減法

對信號進行加法運算，是將兩信號在同一時刻的函數值相加。
減法和加法是一樣的，減法是特殊的加法而已。

2. 乘法、除法

對信號進行乘法運算與相加運算相似，是將兩信號在同一時刻的函數值相乘。離散信號的相加、相乘運算的示例。相加、相乘運算均是針對同一時刻點的幅值。
除法和乘法一樣，除法是特殊的乘法而已。

3. 微分 、差分

1、微分是對連續信號

• 設 f (t)是連續時間信號，則 f (t)對時間 t 的導數
  
  連續時間信號在所有不可導的點都是不連續的。特別是分段連續信號不是在所有的點都是可導的。

2、差分是對離散信號

• 一階前向差分
  
• 一階后向差分
  
• 高階前向差分
  
• 高階后向差分
  

4.積分、迭分

1、積分是對連續信號

• 設 f (t)是連續時間信號，則 f (t)對時間 t 的積分
  

2、迭分是對離散信號

• 迭分運算實際上是一個求累加的過程。
  

2. 關于時間（自變量）的運算

針對信號的自變量主要有三種運算：位移、反折、尺度變換。

1. 位移

信號 f (t)經過加工后輸出的波形形狀沒有發生改變，與原始信號 f (t)相比僅僅是延遲了 t0 時間單位（設 t0 > 0），則延遲后的信號可表示為 f(t -t0 ) ，其波形相當于將 f (t)的波形沿著時間 t 軸向右水平移動了 t0 個時間單位。f (t + t0 ) 的波形則相當于把 f (t)的波形沿著時間 t 軸向左水平移動了 t0 個時間單位。

• 左加右減 原則

例題

答案

2. 反折

設 f (t)是連續時間信號，信號的反折是將 f (t)的自變量 t 用?t 替換，從而得到新的信號 y(t)

• y(t) = f(-t)

例題

3. 尺度變換

設 f (t)是連續時間信號，對于實數 a ，信號的尺度變換表示將 f (t)的自變量 t 用at 替換，得到新的信號 y(t)

• y(t) = f(at)

若 |a| > 1，對信號 f (t) 進行尺度變換是將原信號 f (t) 沿著橫軸方向壓縮；若 |a| < 1，對信號 f (t)進行尺度變換是將原信號 f (t)沿著橫軸方向展寬。

例題

答案

二、階躍信號與沖激信號

如果信號本身、其導數或積分有不連續點（跳變點），則把該信號稱為 奇異信號（或稱奇異函數），這里主要介紹兩類奇異信號：單位階躍信號和單位沖激信號。

1. 單位階躍信號

• 定義
  
• 圖像
  
  該信號在t = 0時不同的書有不同的定義，有的書定義u(0) = 0，有的書定義u(0) = 1，還有的書定義u(0) 為 t = 0+ 和 t = 0- 的左右極限的平均值，我學習的那本書中不定義該點的值，視為無定義。
• 對階躍信號u(t)平移 t0 個時間單位后可得：
  
• 平移后圖像
  

2. 單位階躍信號的特性

• 單邊特性
  f(t) 在(-∞, +∞) 都有值，但是 f(t) * u(t) 后只有 (0, +∞) 后有值，這就是取單邊特性
  

• 用階躍表示矩形脈沖
  兩個階躍信號相互減，就構成了門函數，減的是 u(+) - u(-) 形成門函數
  

3. 單位沖激信號

單位沖激信號可用脈沖信號發生器輸出的脈寬極窄而重復周期較長的窄脈沖信號來近似模擬。其物理模型可用一個突然接通又馬上斷開電源的電路表示。

• 定義
  第一個條件表明δ(t)在所有t不為0時取0
  第二個條件就是沖激下的面積為1,因此 δ(t) 有單位面積。

• 圖像
  
  沖激信號δ(t)可以近似地用一個位于原點處、持續時間為1/A、幅度為A的脈沖來表示，這里，A是一個很大的正值。
  
  單位沖激函數的積分等于單位階躍函數：
  
  
  單位沖激信號的一階微分稱為沖激偶信號 δ’
  
  這個信號的特性是 積分特性，其實可以看成上下積分和為0
  
• 經典例題
  

4. 單位沖激信號的性質

• 1、采樣特性（篩選特性）
  考慮與任意函數 f (t)相乘，設 f (t)在t =0 處是連續的，由于δ(t) 僅僅t =0 時為非零值，其余時間均為零，則
  f (t) * δ(t) = f(0) * δ(0)
  由此可以有推論
  
  例題
  
• 2、沖激偶信號與普通函數相乘
  f (t) * δ '(t) = f (0) * δ '(t) - f '(0) * δ(t)
  在通過定義的積分表達式推廣后，有下面有用結論
  
• 3、尺度特性
  沖激信號的n 階導數用 δ(n)(t 表示，其尺度特性可表示為：
  
  這個公式就是萬能公式?？梢杂纱送瞥銎渌慕Y論
  
• 4、奇偶特性
  沖激函數具有偶函數特性，而沖激偶則具有奇函數特性
  當a = 1 時有
  
  當 n= 0 時
  

三、系統的特性及分類

系統的基本作用是將輸入信號（也稱為激勵）經過傳輸、變換或處理后，在系統的輸出端得到滿足要求的輸出信號（也稱為響應）。這一過程可表示為系統的描述我們可以用下圖來描述

y(●) 表示系統在激勵 f (●)單獨作用時產生的響應。信號變量用圓點標記，代表連續時間變量 t 或離散序號變量n。
根據系統輸入、輸出的情況，通常將只有單個輸入信號和單個輸出信號的系統稱為單輸入單輸出系統；將有多個輸入信號和多個輸出信號的系統稱為多輸入多輸出系統。

1. 系統的初始狀態

在觀察和分析系統時，總會有一個觀察和分析的時間起始點，我們將它稱為初始觀察時刻 t0 （或簡稱初始時刻 t0 ）。它表示以 t0 時刻為界，我們只關心系統在 t > t0 時的輸出，而對 t0 時刻以前系統的輸出不感興趣。以 t0 時刻為界，可以將輸入信號分成歷史輸入 f1 (t) 和當前輸入 f2(t)

• f (t)=f1(t)+f2(t), -∞ < t < +∞
  

在實際系統中會存在函數值在t=0 處可能發生跳變或出現沖激信號。就需要使需要用x(0- ) 和 + x(0+ ) 分別表示觀察起始點前一瞬間 t=0- 和后一瞬間 t=0+ 的狀態，分別稱為 0- 初始狀態和 0+ 初始狀態。0- 時刻的狀態反映了歷史輸入信號對系統作用的效果，0+ 時刻的狀態則反映了歷史輸入信號和t=0 時刻輸入信號共同作用于系統的效果。系統在t = 0時響應 y(t) 是由歷史輸入信號和當前輸入共同決定的，而 0- 初始狀態 - x(0- ) 反映了歷史輸入信號對系統的全部作用效果，所以也可以將響應 y(t) 看成是當前輸入 f (t)和 - 0 初始狀態 - x(0 ) 共同決定的。

• 系統的響應僅由當前輸入信號決定，我們稱這樣的響應為系統的零狀態響應
• 輸出僅由 - 0 初始狀態確定，我們稱這樣的響應為系統的零輸入響應
• 零狀態響應 + 零輸入響應 = 全響應

2. 線性特性

線性特性需要兩個，一個是齊次性、一個是可加性

• 齊次性
  當激勵乘上一個任意的常數（包括復常數），如果系統的響應也將相應地乘上一個相同的常數
  f (●) → y(●) ，則 af (●) → ay(●)

• 疊加性或可加性
  如果任意兩個激勵共同作用時，系統的響應等于每個激勵單獨作用時所產生的響應之和
  f (●) → y (●) ，f (●) → y (●) 有
  {f1(●), f2(●)} → y1(●)+ y2(●) {f1(●), f2(●)} 表示兩個激勵同時作用于系統

• 齊次可加性
  如果一個系統既有齊次性又有可加性，就稱該系統具有線性特性
  f (●) → y (●) ，f (●) → y (●) 有
  {a1f1(●), a2f2(●)} → a1y1(●)+ a2y2(●)

3. 時不變特性

參數不隨時間變化的系統，稱為時不變系統或定常系統，否則稱為時變系統。
f (●) → yf (●)
對連續系統有
f (t - td) → yf(t - td)
對離散系統
f (k- kd) → yf(k - kd)

例題

圖像

實際的系統設計和分析中最常用的系統類型為 線性時不變系統。
如果一個系統既是線性的，也是時不變的，那么稱這個系統為線性時不變（LinearTime Invariant）系統，簡稱 LTI 系統。

4. 因果特性

這個很好判斷，如果任意時刻 t1 時輸入 f (t1)的響應 y(t1) 都不依賴于 t > t1 時 f (t)的值，則稱該系統是因果的或非超前的。這樣，在因果系統里，不可能在輸入加入系統前而獲得輸出（假設系統是零狀態的）。 如果系統不是因果的，就稱為非因果的或超前的。

例題

總結：

• 時間是因果信號判別的重要指標，不能響應的時間不能超過信號的結果

像階躍信號就是典型的因果信號

5. 穩定性

一個系統，如果它對任何有界的激勵 f (●) 所產生的零狀態響應 yf(●) ? 亦為有界的，就稱該系統為有界輸入/有界輸出（Bound-input/Bound-output）穩定，簡稱BIBO 穩定，有時也稱系統是零狀態穩定的。例如電路系統等，都是穩定系統，因為不可能存在輸出無限增大的情況。例如一個電子擴音器，可以實現對聲音的放大，但這個放大不能是無限的，即當把人的聲音看做輸入（顯然這個輸入是有限的），則擴音器的聲音就是系統的輸出，這個輸出也是有限的，所以是一個穩定系統。

總結：

• 有界輸入 對應 有界輸出 則穩定

參考上節內容：

• 信號與系統的描述-上節