指數函數是一類數學函數,其中自變量以指數形式出現。一般來說,指數函數的形式可以表示為:
\[ f(x) = a \cdot b^x \]
其中:
- \( f(x) \) 是函數的值;
- \( a \) 是一個常數,表示函數在 \( x = 0 \) 處的函數值;
- \( b \) 是一個常數,稱為底數,且 \( b \) 不等于 1。
指數函數的特點包括:
1. **增長:** 當 \( x \) 增大時,如果 \( b > 1 \),函數值 \( f(x) \) 會呈指數增長;
2. **衰減:** 當 \( x \) 增大時,如果 \( 0 < b < 1 \),函數值 \( f(x) \) 會呈指數衰減;
3. **底數為 \( e \) 的自然指數函數:** 當底數 \( b \) 取 \( e \)(自然對數的底數,約為2.71828)時,稱為自然指數函數,通常表示為 \( f(x) = a \cdot e^x \)。
自然指數函數 \( f(x) = e^x \) 在數學和科學中特別常見,它在微積分、概率統計、物理學等領域中發揮著重要作用。
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