向量積化和差公式推導

積化和差公式是：

sinαcosβ=【sin(α+β)+sin(α-β)】/2

cosαsinβ =【sin(α+β)-sin(α-β)】/2

sinαsinβ=【cos(α-β)-cos(α+β)】/2

cosαcosβ=【cos(α+β)+cos(α-β)】/2

和差化積以及積化和差公式的推導非常簡單。只要掌握

sin(α+β)、sin(α-β)、cos(α+β)、cos(α-β)

這種最基本的三角函數展開公式，就能輕松掌握8個公式的推導

首先、下面這幾個都是高中的內容了，要熟稔于心

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ ①

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ ②

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ③

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ④

我們看積化和差公式，我們要找的積是

sinαcosβ、sinαsinβ這種。

看①②兩個式子，sinαcosβ當作x cosαsinβ當作y。那么①②兩個式子就相當于一個方程組了，那么很容易就能解出sinαcosβ， cosαsinβ。同理式子 ③ ④也是

于是得到積化和差的公式

sinαcosβ=【sin(α+β)+sin(α-β)】/2

cosαsinβ =【sin(α+β)-sin(α-β)】/2

sinαsinβ=【cos(α-β)-cos(α+β)】/2

cosαcosβ=【cos(α+β)+cos(α-β)】/2

擴展資料：

得到積化和差的公式后，只要在做一個小的變換就能得到和差化積的公式了。令積化和差公式中的α+β=a，α-β=b。

則，α=(a+b)/2 β=(a-b)/2

積化和差公式改寫為

sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]=[sina+sinb]/2

cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]=[sina-sinb]/2

sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]=[cosb-cosa]/2

cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]=[cosa+cosb]/2

然后把右邊式子的/2移到左邊去，把a用字母α，b用字母β代替。