親森不等式

詹森不等式(Jensen's inequality)，也譯為延森不等式、琴生不等式

詹森不等式簡介

詹森不等式以丹麥數學家約翰·詹森(Johan Jensen)命名。它給出積分的凸函數值和凸函數的積分值間的關系。

詹森不等式的一般形式

詹森不等式可以用測度論或概率論的語言給出。這兩種方式都表明同一個很一般的結果。

假設μ是集合Ω的正測度，使得μ(Ω) = 1。若g是勒貝格可積的實值函數，而

是在g的值域上定義的凸函數

概率論的版本

以概率論的名詞，μ是個概率測度。函數g換作實值隨機變量X(就純數學而言，兩者沒有分別)。在Ω空間上，任何函數相對于概率測度μ的積分就成了期望值。這不等式就說，若

是任一凸函數，

詹森不等式的特例

機率密度函數的形式

假設Ω是實數軸上的可測子集，而f(x)是非負函數，

以概率論的語言，f是個機率密度函數。

詹森不等式變成以下關于凸積分的命題：

若g是任一實值可測函數，φ在g的值域中是凸函數

若g(x) = x，則這形式的不等式簡化成一個常用特例：

若Ω是有限集合

，而μ是Ω上的正規計數測度，則不等式的一般形式可以簡單地用和式表示：

若φ是凹函數，只需把不等式符號調轉。

假設

是正實數，g(x) = x，λi = 1 / n及

。上述和式便成了

兩邊取自然指數就得出熟悉的平均數不等式：

這不等式也有無限項的離散形式。

統計物理學中，若凸函數是指數函數，詹森不等式特別重要：

其中方括號表示期望值，是以隨機變量X的某個概率分布算出。這個情形的證明很簡單(參見Chandler, Sec. 5.5)：在以下等式的第三個指數函數

套用不等式

即得出所求的不等式。