證明：令{An}為收斂數列，則其必有極限，令{An}極限為M，故存在正整數N；
若{An}中至多含有有限個不同的點則從某項起{An}含有無限多個相同的點即{An}為常數列，否則{An}不滿足柯西條件；
若{An}中含有無限多個各不相同的點則根據聚點定理{An}至少含有一個聚點，假設{An}含有兩個聚點d1 d2且d1<d2，令e=d2-d1，所以在U(d1；e/3)U(d2；e/3)內都含有{An}中的無限多個點，這與存在N，當m n>N 時｜An-Am｜<H矛盾，故{An}只含有一個聚點；
令其為d1,所以當n m>N，｜An-Am｜<H/2（H為大于0的任意正數）時存在Ah屬于U（d1；e/3）且｜Ah-d1｜<H/2，所以｜An-d1｜<｜An-Ah｜+｜Ah-d1｜<H/2+H/2=H，故{An}收斂于d1。
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