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          同余定理公式及解釋

          來源:互聯網轉載 時間:2024-11-30 02:04:23

          設物有x,可得

          x≡2(mod 3);

          x≡3(mod 5);

          x≡2(mod 7).

          先看看一次同余方程的一般解法。

          [公式]

          [公式]

          ...

          [公式]

          首先讓 [公式]

          使[公式]

          使[公式]{[公式]取最小值}

          求出[公式],代入以下式子:

          [公式]

          即可求出x的 最小值

          回到剛才的問題

          設物有x,可得

          x≡2(mod 3);

          x≡3(mod 5);

          x≡2(mod 7).

          m=3*5*7=105

          [公式]=105,[公式]=105,[公式]=105

          [公式] =35, [公式] =21, [公式] =15

          [公式] , [公式] {最小值}

          [公式] , [公式]

          [公式] , [公式]

          最后

          [公式]

          [公式]

          [公式]

          窮舉,得 x 的最小值為23,解畢.

          檢驗:

          23[公式]3=7......2 三三數之剩二

          23[公式]5=4......3 五五數之剩三

          23[公式]7=3......2 七七數之剩二

          新人發

          同余定理

          一、同余:

          對于整數除以某個正整數的問題,如果只關心余數的情況,就產生同余的概念。

          定義1用給定的正整數m分別除整數a、b,如果所得的余數相等,則稱a、b對模m同余,記作a≡b(mod m),如 56≡0 (mod 8)

          定理1整數a,b對模m同余的充要條件是 a-b能被m整除(即m|a-b)。

          證:設a=mq1+r1, 0<=r1<m; b=mq2+r2, 0<=r2<m.

          若a≡b(mod m),按定義1,r1=r2,于是a-b=m(q1+q2),即有m|a-b.

          反之,若m|a-b,即m|m(q1-a2)+r1-r2,則m|r1-r2,但|r1-r2|<m,故r1=r2,即a≡b(mod m)。

          推論 a≡b(mod m)的充要條件是a=mt+b(t為整數)。

          表示對模m同余關系的式子叫做模m的同余式,簡稱同余,同余式的記號是高斯(Gauss)在1801年首先使用的。

          定理2同余關系具有反身性、對稱性與傳遞性,即

          1)a≡a (mod m);

          2)若a≡b (mod m), 則b≡a (mod m);

          3)若a≡b (mod m), b≡c (mod m),則a≡c (mod m).

          定理3若a≡b(mod m), c≡d (mod m),則

          1)a+c≡b+d (mod m);

          2)a-c≡b-d (mod m);

          3)ac≡bd (mod m).

          多于兩個的同模同余式也能夠進行加減乘運算。

          對于乘法還有下面的推論:

          推論 若a≡b(mod m),n為自然數,則an≡bn (mod m)。

          定理4若ca≡cb(mod m), (c,m)=d, 且a,b為整數,則a≡b(mod m/d).

          推論 若ca=cb(mod m), (c,m)=1,且a,b為整數,則a≡b(mod m).

          定理5若a≡b (mod m),a≡b (mod n),則a≡b(mod [m,n]).

          推論 若a≡b(mod mi), i=1,2,…,n,則a≡b (mod [m1,m2,..,mn]).

          例:已知23≡ 1(mod 7),則22005≡ 23*668+1≡ (23)668*2 ≡ 2(mod 7) (該計算使用了定理3)

          證:23≡ 1(mod 7),由定律5,得23* 23≡ 1*1(mod 7)…(23)668≡ 1(mod 7),

          故,(23)668*2 ≡ 2(mod 7)。

          算法運用:

          1.乘法取模:ab mod n = (a mod n)(b mod n) mod n

          1 //1.a*b%d 2 int mul_mod(int a, int b, int d) 3 { 4 a %= n; 5 b %= n; 6 return (int)((long long)a*b%n); 7 }

          1 //2.a*b%c 2 int mul_mod(int a, int b, int c) 3 { 4 int r = 1, d = a; 5 while(b) 6 { 7 if(b&1) 8 r = (r*d)%c; 9 d = (d*d)%c; 10 b >>= 1; 11 } 12 return r; 13 }

          2.大整數取模:

          1 //大整數取模 n%m 2 int big_mod(char n[], int m) 3 { 4 int len = strlen(n); 5 long long ans=0; 6 for(int i=0; i<len; i++) 7 ans = ((long long)ans*10+n[i]-'0')%m; 8 return (int)ans; 9 }

          3. 冪取模

          1 //1.根據定義 2 int pow_mod(int a, int n, int m) 3 { 4 long long ans=1; 5 for(int i=0; i<n; i++) 6 ans = (long long)ans*n%m 7 return ans; 8 }

          1 //2.分治法思想 2 int pow_mod(int a, int n, int m) 3 { 4 if(n == 0) 5 return 1; 6 int x = pow_mod(a, n/2, m); 7 long long ans = (long long)x*x%m; 8 if(n%2 == 1) 9 ans = ans*a%m; 10 return (int)ans; 11 }

          定義2如果m為自然數,集合Kr={x|x=mt+r,t是任意整數},r=0,1,…,m ,則稱K0,K1,…,Km-1為模m的剩余類。

          例如,模2的剩余類是偶數類與奇數類;模3的剩余類是:K0={…,-6,-3,0,3,6,…},K1={…,-5,-2,1,4,7,…},K2={…,-4,-1,2,5,8…}。

          剩余類具有如下列比較明顯的性質:

          1)模m的剩余類K0,K1,……,Km-1都是整數的非空子集;

          2)每個整數必屬于且只屬于一個剩余類;

          3)兩個整數屬于同一個剩余類的充要條件是它們對模m同余。

          定義3從模m的每個剩余類中任取一個數,所得到的m個數叫做模m的完全剩余系。

          對模m來說,它的完全剩余系是很多的,經常采用的是:

          0,1,2,…,m-1;

          1,2,3,…,m;

          -(m-1)/2,…,-1,0,1,…,m/2 (m為奇數),

          -m/2+1,…,-1,0,1,…,m/2 (m為偶數),

          -m/2,…,-1,0,1,…,m/2-1 (m為偶數).

          定理6 k個整數a1,a2,…,ak構成模m的完全剩余系的充要條件是k=m,且這m個數對模m兩兩不同余。

          定理7 若x1,x2,…,xm 是模m的完全剩余系,(a,m)=1,b為整數,則ax1+b,ax2+b,…,axm+b也是模m的完全剩余系。

          二、歐拉函數

          定義1在模m的完全剩余系中,所有與m互素的數叫做模m的簡化剩余系。例如1,3,7,9是模10的一個簡化剩余系。

          定義2若對任意的自然數m,用記號ф(m)表示0,1,2,…,m-1中與m互素的數的個數,則稱ф(m)為歐拉函數。

          例如ф(10)=4,ф(7)=6,ф(1)=1。

          定理1k個整數a1,a2,…,ak構成模m簡化剩余系的充要條件是k=ф(m),(ai,m)=1,i=1,2,…, ф(m),且這ф(m)個數對模m兩兩不同余。

          定理2若(a,m)=1,x1,x2,…,xф(m)是模m的簡化剩余系,則ax1,ax2,…,axф(m)也是模m的簡化剩余系。

          定理3 (歐拉定理)若(a,m)=1,則aф(m)≡1 (mod m)

          證:設x1,x2,…,xф(m)是模m的簡化剩余系,根據定理2,ax1,ax2,…,axф(m)也是模m的簡化剩余系。

          由此可知x1,x2,…,xф(m)中任一個數必與ax1,ax2,…,axф(m)中某一個數對模m同余;

          反之ax1,ax2,…,axф(m)中任一個數必與x1,x2,…,xф(m)中某一個數對模m同余,這就有:

          ax1ax2…axф(m)≡x1x2…xф(m)(mod m),又(x1x2…xф(m),m)=1,所以aф(m)≡1 (mod m)。

          例1已知x=h是使ax≡1 (mod m)中成立的最小正整數,求證h|ф(m)。

          證 由ah-1=mt(t為整數)可知(a,m)=1,于是

          aф(m)≡1 (mod m)。

          令ф(m)=hq+r,0<=r<h, q為自然數

          代入上面的同余式,可得 ar≡1 (mod m),所以r=0,故h|ф(m)。

          推論(費馬小定理)若p是素數,則 1) 當(a,p)=1時,ap-1≡1 (mod p);

          2) ap≡a (mod p)

          證: 先證1),由p是素數,知0,1,2,…,p-1中有p-1個數與p互素,于是ф(p)=p-1。又因為(a,p)=1,所以根據定理3得證1)。

          再證2),當(a,p)=1時,由1)知2)成立;當(a,p)不等于1時,p|a,余數同為0,2)也成立。

          歐拉在1760年證明了定理3,故稱為歐拉定理。費馬在1640年提出了上面的推論,它的證明是歐拉在1736年完成的,這個推論通常叫做費馬小定理。

          例2設a為整數,求證a5≡a(mod 30).

          證 由于30=2.3.5,而依據費馬小定理,有

          a5≡a(mod 5) (1)

          a3≡a(mod 3) (2)

          a2≡a(mod 2) (3)

          由(2)得 a5≡a3≡a(mod 3) (4)

          由(3)得a5≡a4≡a2≡a(mod 2) (5)

          于是由(1).(4),(5),并且2,3,5兩兩互素,所以 a5≡a(mod 30).

          定理4若p是素數,則ф(pa)=pa-pa-1。 (ф(pa)的計算公式)

          證 考慮模pa的完全剩余系0,1,2,…,p,…,2p,…,pa-1 (1)

          (1)式中與pa不互素的數只有p的倍數0,p,2p,…,(pa-1–1)p,這共有pa-1個,

          于是(1)中與pa互素的數有pa-pa-1個,所以ф(pa)=pa-pa-1。

          定理5若(m,n)=1,則ф(mn)=ф(m)ф(n)。

          推論 若正整數m1,m2,…mk兩兩互素,則ф(m1m2…mk)=ф(m1)ф(m2)…ф(mk).

          定理6若m的標準分解式為m=p1a1p2a2…pkak,則ф(m)=p1a1-1p2a2-1…pkak-1(p1-1)(p2-1)…(pk-1).

          例3設(n,10)=1,求證n101與n的末三位數相同。

          證:為了證明n101-n≡0只要證明n100≡1(mod 1000).

          事實上由(n,125)=1,φ(125)= φ(5^3)=5^3-5^2=100,有n100≡1(mod 125);

          再由n是奇數知8|n^2-1,進而n^100≡1(mod 8),而(125,8)=1,得證。

          算法:

          1.求解φ(n)

          1 //直接求解歐拉函數 2 int phi(int n) 3 { 4 //返回euler(n) 5 int res=n,a=n; 6 for(int i=2;i*i<=a;i++) 7 { 8 if(a%i==0) 9 { 10 res=res/i*(i-1); //先進行除法是為了防止中間數據的溢出 11 while(a%i==0) a/=i; 12 } 13 } 14 if(a>1) 15 res=res/a*(a-1); 16 return res; 17 }

          篩選法打歐拉函數表 #define Max 1000001 int euler[Max]; void Init() { for(int i=1;i<Max;i++) euler[i]=i; for(int i=2;i<Max;i++) if(euler[i]==i) for(int j=i;j<Max;j+=i) euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先進行除法是為了防止中間數據的溢出 }

          一、同余定理的定義:

          兩個整數a,b,如果他們同時對一個自然數m求余所得的余數相同,則稱a,b對于模m同余。記作a≡b(mod m)。讀為:a同余于b模m。在這里“≡”是同余符號。

          二、同余定理的一些性質:

          對于同一個除數,兩個數之和(或差)與它們的余數之和(或差)同余。(加減乘同理)

          (a+b)%c==(a%c+b%c)%c

           對于同一個除數,如果有兩個整數同余,那么它們的差一定能被這個除數整除。

          對于同一個除數,如果兩個數同余,那么他們的乘方仍然同余。

          標簽:同余定理-

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